Chaque nombre, dans ce nouveau sens, a une partie réelle, une partie imaginaire, un angle, et une magnitude. En vertu du lien que présente le blend avec l'espace d'entrée contenant le plan géométrique, les nombres peuvent être manipulés géométriquement ; en vertu du lien que présente le blend avec l’espace d'entrée contenant les nombres réels, le blend est compris comme une extension des anciens nombres (qu’il inclut). Dans l'espace intégrant, tous les points du plan sont des nombres complexes. Et ce fait permet à l'espace intégrant d'incorporer toute la structure géométrique du plan à deux dimensions.

Dans les mathématiques, l'espace intégrant constitue une façon nouvelle et plus riche de comprendre les nombres et l’espace. Cependant, il garde aussi ses relations avec les conceptions antérieures fournies par les espaces d'entrée. Le changement conceptuel de ce genre n’est pas seulement la substitution. On voit plutôt dans ces cas l'invention de sens par élaboration.

NOMBRES RATIONNELS

Après cette étude portant sur l'invention de sens dans le cas des nombres complexes, il faut mentionner que l’intégration conceptuelle est également évidente dans l’invention du concept de nombres rationnels, quelques millénaires avant l’invention du concept de nombres complexes.

Si nous avons déjà les nombres entiers 1, 2, 3, et cetera, ils fournissent un espace d'entrée qui peut être intégré à un autre espace d'entrée qui contient les proportions de ces nombres. La projection entre les espaces d'entrée fait correspondre chaque nombre aux proportions équivalentes. Au moyen d'une projection sélective, toutes les proportions sont projetées sur l'espace intégrant, et tous les nombres compris dans l'espace des nombres sont également projetés sur l'espace intégrant. Les proportions qui sont équivalentes sont projetées sur le même élément dans le blend. Quelques opérations mathématiques comme la multiplication émergent dans le blend. Une nouvelle catégorie apparaît dans le blend. C'est une grande invention de sens, qui intègre des éléments très différents. Mais, bizarrement, dans le blend, les éléments de cette catégorie sont des nombres ! Ce sont tous des nombres. Il y a un élément dans le blend qui correspond à la proportion de neuf à trois et également de douze à quatre, ainsi que de trois cent trente-trois à cent onze, et qui correspond aussi au nombre trois. Cet élément, dans le blend, est homologue à une infinité d'éléments contenus dans les espaces d'entrée qui appartiennent à des catégories très différentes. De plus, il y a dans le blend un nombre qui correspond à la proportion de neuf à cinq, même s'il ne correspond à aucun nombre dans l'espace d'entrée contenant les nombres entiers.

Le blend offre une nouvelle catégorie dont les éléments sont des projections d’éléments largement disparates dans les espaces d'entrée, et pourtant, dans le blend, la catégorie contenant tous ces éléments est encore celle de nombre ! D’une part, le blend qui crée la nouvelle catégorie de nombre, y compris celle des nombres entiers, est un grand accomplissement mathématique. D’autre part, la catégorie engendrée par le blend est une ancienne catégorie. La catégorie qui est le produit du blend est la même catégorie que celle de l'espace d'entrée contenant les nombres entiers, bien que la structure intérieure de cette catégorie de nombre ait été altérée de façon spectaculaire.

Aujourd'hui, ce "blend" est si commun et si familier dans notre culture qu'il semble être un simple fait de réalité physique, mais historiquement l'invention de ce blend a nécessité une lutte intellectuelle et inventive.

LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE

L’intégration conceptuelle fait surgir également du sens géométrique. Considérons la géométrie hyperbolique. Euclide avait défini les parallèles comme des lignes droites qui, dans un plan, prolongées indéfiniment dans les deux directions, ne se rencontrent jamais. Il avait présenté une séquence de démonstrations qui montre que deux lignes droites sont parallèles quand elles forment avec une de leurs lignes transversales deux angles égaux à l'intérieur, ou deux angles correspondants égaux, ou deux angles complémentaires à l'intérieur du même côté de la ligne transversale. Mais au cours de quinze siècles, personne n'a trouvé de manière convaincante de démontrer les converses de ces propositions sans utiliser "l’axiome parallèle", c'est-à-dire : " Si, dans un plan, il y a deux lignes droites et une autre ligne droite qui les coupe en formant avec elles deux angles à l'intérieur du même coté qui soient inférieurs à deux angles droits, ces deux lignes, prolongées indéfiniment, se rencontreront de ce côté-là."

Cet axiome n'avait pas l’air d'aller de soi. Plusieurs mathématiciens ont cherché à le dériver d'autres axiomes.

Gerolamo Saccheri (1667-1733) a fait une tentative essentielle. Saccheri a considéré un quadrilatère ABCD, dont les angles DAB et ABC sont droits et dont les segments AD et BC sont égaux:

Sans utiliser l’axiome parallèle, il est facile de démontrer que les angles BCD et CDA sont égaux. (Dans cette démonstration, on dessine deux diagonales et trouve deux triangles égaux, et cetera, dont enfin on démontre que les angles doivent être égaux.) Saccheri a fait ce genre de démonstration. Selon l’axiome parallèle, BCD et CDA doivent être des angles droits. Donc, si nous nions que les angles BCD et CDA sont droits, nous nions de cette façon l’axiome parallèle. C'est ce que Saccheri a fait, dans l’espoir de dériver une contradiction qui prouverait l’axiome parallèle par reductio ad absurdum (par raisonnement par l'absurde).

Mais même si les angles BCD et CDA ne sont pas droits, on a déjà démontré qu'ils sont égaux, et donc qu'ils doivent être ou bien obtus ou bien aigus. Saccheri a cherché à montrer que, dans chaque cas, une contradiction s'ensuit. Il a supposé que les angles étaient aigus ; c’est-à-dire qu'il a opéré une intégration conceptuelle :

Figure 2.

Les deux espaces d'entrée sont des figures tout à fait euclidiennes. Chaque figure est un quadrilatère ABCD, dont les angles DAB et ABC sont égaux et dont les segments AD et BC sont égaux. La projection partielle entre les espaces d'entrée est donc claire. L'espace intégrant emprunte cette structure aux espaces d'entrée. Mais dans le premier espace d'entrée, les angles DAB et ABC sont droits, alors que dans le second espace d'entrée les angles BCD et CDA sont aigus. L'espace intégrant emprunte les angles droits au premier espace d'entrée et les angles aigus au deuxième espace d'entrée. Le blend qui en résulte est dramatiquement impossible dans la géométrie euclidienne, mais Saccheri ne rencontra jamais de contradiction mathématique dans cet espace intégrant. Cet espace intégrant fournit les fondations d'une géométrie non-euclidienne, en particulier de la géométrie hyperbolique.

Toute l'élaboration de l'espace intégrant suit les principes euclidiens. Les espaces d'entrée sont non seulement euclidiens, mais encore familiers ; les procédures d’élaboration sont euclidiennes et familières. La seule chose nouvelle dans l'invention de ce sens mathématique est la projection sélective des espaces d'entrée sur l'espace intégrant.

L’invention de la géométrie non-euclidienne n'est pas attribuée à Saccheri parce qu'il n'a pas compris ce qu'il a découvert. Cette invention est plutôt attribuée à Gauss, à Bolyai, et à Lobatchevsky parce qu'ils ont reconnu (mais pas démontré) que cette géométrie non-euclidienne est cohérente comme système mathématique. L'hypothèse selon laquelle l'espace physique pourrait être non-euclidien est attribuée à Gauss.

En fait, tous les mathématiciens sont formés explicitement à l'intégration conceptuelle sans le savoir, parce que la méthode de reductio ad absurdum (du raisonnement par l'absurde) n'est qu'un genre de l'intégration conceptuelle. Dans le raisonnement par l'absurde, il y a un espace d'entrée contenant des vérités déjà acceptées dans le système mathématique, et un autre espace qui contient une supposition qu'on voudrait rejeter comme fausse. On élabore le blend jusqu'à ce que le blend se contredise.

LE DÉBAT AVEC KANT

Dans ces première et seconde conférences, nous avons vu un certain nombre d'exemples remarquables dans lesquels l'intégration conceptuelle fournit un nouveau sens émergent. Dans le passage de Racine, nous avons vu Phèdre et Hippolyte entretenir de nouvelles relations. Dans le poème de Yeats, nous avons vu, dans l'espace intégrant, l'invention de nouvelles possibilités et de nouvelles émotions. Dans l'énigme du moine bouddhiste, nous avons vu dans l'espace intégrant, l’invention de la rencontre, et par conséquent la solution de l'énigme. Dans le cas du malade qui croit qu’il est téléguidé par le Vatican par l'intermédiaire de l'Internet, nous avons vu l’invention d’une nouvelle théorie de la causalité mentale et physique. Et dans l’histoire des mathématiques, nous avons vu beaucoup d’inventions si perceptibles et si impressionnantes qu’elles se présentent comme des monuments de l'invention humaine.

Dans tous ces cas, le blend, l'espace intégrant, est perçu par notre conscience. Mais l'intégration conceptuelle, avec toutes ses propriétés structurales et dynamiques imaginatives, fonctionne dans notre pensée, dans la majorité des cas, sans être remarquée. En fait, il est rare que l'intégration conceptuelle soit perçue par notre conscience.

Voici un exemple dans lequel l'intégration conceptuelle passe inaperçue.

Un professeur de philosophie, dans un séminaire, dit :

On peut interpréter ce passage comme la description d'un événement historique véritable, dans lequel Kant ne peut pas répondre aux questions que le professeur de philosophie lui pose. Nous n'interprétons pas ce passage de cette façon, et cela nous amène à poser une question sur la cognition humaine : comment est-ce que le fait de rapporter une discussion avec un homme mort, mais qui affirme et rétorque peut-il être interprété comme l'expression sensée d’une position philosophique ? Le professeur est apparemment sain d'esprit. Mais comment est-il possible que Kant soit être tenu en échec par un professeur contemporain ?

L'espace intégrant du moine bouddhiste nous a montré ce qu'est la réalité dans les espaces d'entrée, mais il n’exige pas que nous croyions que quelqu'un puisse se rencontre lui-même sur un sentier. De la même façon, dans le débat avec Kant, le blend nous montre une interprétation des espaces d'entrée, mais il n’exige pas que nous croyions qu'un professeur vivant puisse discuter avec quelqu'un qui est mort.

Le débat avec Kant a deux espaces d'entrée. Dans le premier, nous avons Kant, penseur et écrivain. Dans le second, le philosophe contemporain parle à ses étudiants de la cognition. Il n'y a pas de débat dans ces espaces d'entrée, mais chaque espace d'entrée a un philosophe, ses thèmes, ses expressions, sa langue, son époque. Ces éléments se trouvent dans l'espace générique que les espaces d'entrée partagent. Les correspondances entre les deux espaces d'entrée sont donc claires. Dans l'espace intégrant, on construit le débat avec Kant. Nous projetons Kant et le professeur sur l'espace intégrant. Ils sont recomposés dans l'espace intégrant. C'est uniquement à partir de l'espace du professeur que nous projetons la langue spécifique et le mode d'expression orale. Les thèmes abordés par Kant et le professeur sont projetés sur l'espace intégrant où ils sont confondus. Dans l'espace intégrant, Kant et le professeur parlent du même sujet en français. Cette structure est reconnue comme sous-ensemble d'un schéma culturel indépendamment connu, celui du débat, et elle est naturellement complétée sous cette forme. Ainsi, il y a une structure propre qui émerge dans l'espace intégrant. À partir de ce moment-là, nous pouvons élaborer l'espace intégrant avec des déclarations, des répliques, des réparties, et autres échanges. Dans l'espace intégrant, il est possible que quelqu'un puisse gagner.

Des expressions telles que "être en désaccord avec moi sur ce point", "il prétend que", "à quoi je réponds", "je pose la question", et cetera renvoient à des éléments et à des relations qui se trouvent dans l'espace intégrant. Mais nous savons quelles sont les correspondances entre l'espace intégrant et les espaces d'entrée. Nous savons aussi comment certaines relations entre les espaces d'entrée sont comprimées à l'intérieur de l'espace intégrant. Et nous savons donc comment les expressions qui indiquent les éléments et les relations existant dans l'espace intégrant s'appliquent aussi aux espaces d'entrée et aux relations existant entre eux.

Le Débat Avec Kant a toutes les propriétés de l'intégration conceptuelle. Il y a une projection partielle entre l'espace contenant Kant et l'espace contenant le professeur. Les rapports de correspondance incluent Kant et le professeur, leurs langues respectives, leurs thèmes, leurs réclamations, leurs temps d’activité, leurs buts, et leurs modes d’expression.

Il y a la projection sélective sur l'espace intégrant : Kant, le professeur, et une partie de leurs idées sont projetés sur l'espace intégrant. L'époque de Kant, sa langue, le fait qu’il est mort, et le fait qu’il n'a jamais été conscient de l’existence du professeur ne sont pas projetés.

Il y a une structure propre qui émerge dans l'espace intégrant et qui dérive de la composition : dans l'espace intégrant, nous avons deux penseurs qui se trouvent au même endroit et qui parlent en même temps. Il y a aussi une structure émergente dans l'espace intégrant qui dérive de la complémentation, de l'achèvement : dans le blend, deux personnes se trouvant au même endroit et parlant en même temps évoquent le schéma complet et préconstruit d'un débat, et nous complétons le blend avec ce schéma. Cette complémentation est reflétée par la syntaxe et le vocabulaire du professeur. Il y a une structure propre qui émerge qui dérive de l'élaboration. Par exemple, c'est l'élaboration qui engendre les émotions. Et c'est elle qui procure surtout la victoire du professeur sur Kant.

UNE RÉGATE

L'invention du sens dans l'espace intégrant inclut non seulement des inférences mais encore des émotions. Voici un exemple :

Le Great America II, un catamaran de conception contemporaine tente de battre en 1993, le record de la course San Francisco-Boston, établi en 1853 par Northern Light, un clipper construit à cette époque. Quelques jours avant l'arrivée du catamaran à Boston, les observateurs pouvaient déclarer :

Cette expression nous incite à projeter les deux bateaux sur un espace intégrant dans lequel ils suivent la même route pendant la même période en 1993. Il y a deux espaces d'entrée, l'un contenant Northern Light en 1853, l'autre contenant Great America II en 1993. Il y a une projection partielle entre les deux espaces d'entrée qui relie les deux routes, les deux bateaux, les deux périodes, les positions sur la route, et cetera. La projection sélective des espaces d'entrée sur l'espace intégrant projette les routes, les deux bateaux, leurs positions, et les durées du voyage depuis San Francisco sur chaque position de la route, mais elle ne projette ni la date de 1853 ni les conditions météorologiques de 1853. Il y a une invention de sens formidable dans l'espace intégrant : les bateaux se trouvent maintenant sur la même route et peuvent être directement comparés. Dans l'espace intégrant, Great America II peut avoir 4 jours "d'avance sur" Northern Light. Ce scénario comportant deux voiliers qui prennent la mer au même instant et au même endroit, avec l'intention de voyager aussi vite que possible vers la même destination est familier. Cette structure est reconnue comme sous-ensemble d'un schéma culturel indépendamment connu, celui de la course nautique, et elle est naturellement complétée sous cette forme. Tout comme dans l'énigme du moine bouddhiste, les projections sur l'espace intégrant subissent des contraintes : la projection des positions et des durées qui se trouvent dans les espaces d'entrée doivent être exactes.

La complémentation de l'espace intégrant par le schéma de la course peut être indiqué plus clairement. On peut dire, par exemple :

L'expression "Maintenir à peine 4 jours d'avance" indiquerait un engagement intentionnel relevant d’une course.

Bien que dans la réalité le catamaran navigue seul, et le clipper, chargé de cargaison, ait fait son voyage il y a 140 (cent quarante) ans, l'espace intégrant fait surgir des émotions puissantes parce qu'une course nautique suscite des émotions associées à l'ambition, la peur, l'effort, la chance, la victoire, et la défaite. Grâce à l'espace intégrant, l'équipage du catamaran et les fans peuvent ressentir des telles émotions, et ces émotions peuvent changer le cours des événements.

Le rapport attesté sur la tentative que Great America II a faite était en fait un article de la revue Latitude 38, qui contenait cette expression :

Cette expression renvoie explicitement à l'espace intégrant, en raison de l'emploi du mot "fantôme." Le mot "fantôme" indique qu'il y a un élément, dans le premier espace mental (contenant Northern Light), qui a un élément homologue dans l'espace intégrant (c'est-à-dire, le fantôme), et qui produit des effets pour le second espace mental, mais qui pourtant n'est pas présent dans le second espace mental. Ce mot indique aussi que le fantôme de l'espace intégrant doit copier son homologue du premier espace mental.

Cet usage de "ghost" ou "fantôme" est tout à fait commun. Je discuterai ce point dans ma troisième conférence. Il indique qu'il y a compression, dans l'espace intégrant, d'une projection entre les espaces d'entrée.

CATULLE 101

Nous trouvons un genre de fantôme différent dans le poème d’adieu de Catulle à son frère :

multas per gentes et multa per aequora vectus

advenio has miseras, frater, ad inferias,

ut te postremo donarem munere mortis

et mutam nequiquam alloquerer cinerem.

quandoquidem fortuna mihi tete abstulit ipsum.

heu miser indigne frater adempte mihi,

nunc tamen interea haec, prisco quae more parentum

tradita sunt tristi munere ad inferias,

accipe fraterno multum manantia fletu,

atque in perpetuum, frater, ave atque vale!

J'ai traversé bien des terres, des mers, mon frère,

Pour rendre hommage à tes restes infortunés,

T'apporter cette suprême et funèbre offrande,

À ta cendre muette adresser de vains mots.

Car la fortune, hélas, m'a ravi ta personne,

Pauvre frère à moi indignement arraché.

Aujourd'hui cependant, selon l'antique usage

De nos pères, je t'honore d'un triste don.

Reçois-le, tout baigné de larmes fraternelles,

Et pour toujours, mon frère, salut et adieu.

(Tr. Pierre Feuga)

Dans un espace d'entrée, nous avons Catulle et les cendres de son frère. Dans l’autre, nous avons le frère vivant. Il y a une relation de transposition entre le corps du frère et les cendres. Dans l'espace intégrant, il y a un élément qui a reçu les projections sélectives du frère et des cendres. Cet élément est le frère et les cendres. On peut s'adresser à cet élément, et utiliser les mots "frater" et "te" en s'adressant à cet élément, mais cet élément est muet. D'habitude, on ne peut pas dire qu'une chose est "muette." Sans l'intégration conceptuelle, par exemple, on ne peut pas dire que les cendres de bois sont muettes. Mais dans le blend, puisque les cendres sont également le frère, on peut dire qu'elles sont "muettes."

Dans ce genre de blend, nous empruntons la possibilité de contact psychologique à l'espace contenant la personne. Nous empruntons le lieu de rendez-vous à l'espace contenant les cendres (ou un tombeau, par exemple).

Il y a beaucoup de blends dans lesquels des objets sont en même temps des personnes. On peut s'adresser aux portraits, aux statues, à l’anneau d'alliance d’un époux mort, à une lettre, et même à une image dans un miroir. Dans tous ces cas, l'objet se trouve dans un espace d'entrée, et la personne dans l'autre.

"IMAGE CLUB"

Naturellement, puisque l'intégration conceptuelle peut inventer du sens, elle joue un rôle très important dans l'imagination, y compris dans l’imagination sexuelle. Par exemple, il peut intégrer, amalgamer une personne à un objet, ou une personne à une autre.

J'ai lu dans le New York Times qu'il y avait beaucoup de maisons de passe dans lesquelles les prostituées sont habillées comme des lycéens de seize ans peut-être. Les chambres ressemblent à des salles de classe. Dans le blend, l'homme peut avoir des rapports sexuels avec une lycéenne. Alternativement, il peut lui-même être un lycéen qui a encore des rapports sexuels avec une lycéenne spécifique qu'il a connue.

Ces blends peuvent sembler pervers, mais Marco Casonato, qui est un psychothérapeute italien, a remarqué que ces blends "pervers" utilisent les mêmes opérations mentales que les fantasmes sexuels ordinaires. En fait, il y a des blends tels que ceux-là qui soutiennent la monogamie et la fidélité. Imaginons que Jane et Bob soient devenus amants à l'âge de seize ans. Quelques années plus tard, ils se sont mariés, et quelques décennies plus tard ils retournent sur les lieux où ils ont entamé leur relation. Ils portent des chaussures de tennis. Ils font l'amour à l'arrière d'une voiture. Il y a une phrase en anglais pour ce qu'ils font : c'est un "Silver Honeymoon." Dans le blend, Bob peut avoir des rapports sexuels avec une lycéenne, plus précisément avec Jane dans le rôle d'une lycéenne.

PÈRE

L’intégration conceptuelle est utilisée partout dans la pensée humaine. Quelques blends semblent ordinaires et quelques autres semblent étranges. Certains autres, tels que les blends qui produisent des découvertes mathématiques et scientifiques, semblent profonds. Certains autres encore, tels que les blends de genre poétique, semblent très imaginatifs. Certains blends, enfin, semblent métaphoriques ou contrefactuels. Voici un exemple qui semble métaphorique et contrafactuelle :

Dans l'espace intégrant, le Titanic est insubmersible. Rien ne peut l'atteindre. Et l'iceberg peut couler, bien que la glace soit moins dense que l'eau. Voici un autre exemple, de Gloria Steinem, qui semble contrefactuelle mais pas métaphorique :

Ce blend suggère un monde dans lequel les hommes peuvent être enceints et l’Église joue un rôle direct dans l'interruption de grossesse.

Dans quelques blends, le sens inventé semble entièrement conventionnel, comme dans l'expression "Paul est le père de Marie." Cette expression nous incite à intégrer le cadre conceptuel de père à Paul et Marie, c'est-à-dire deux personnes spécifiques. Il y a du sens nouveau dans l'espace intégrant, bien qu'il soit presque invisible à la conscience. Dans l'espace intégrant, mais pas dans les espaces d'entrée, il y a un nouveau rôle, le père de Marie, et on peut se référer directement à ce rôle. Dans "Zeus est le père d'Athena" ou "Zeus est le père de Sarpédon", le nouveau concept de père est évident. Cette invention de sens est aussi évidente dans "Joseph est le père de Jésus." On peut rendre le nouveau sens qui émerge dans l'espace intégrant de plus en plus visible. On peut dire :

CONCLUSION

Les êtres humains vivants sont cognitivement modernes. Leur caractéristique principale est la faculté imaginative à innover. Mais cette aptitude à innover, à inventer de sens nouveau, apporte aux êtres humains des problèmes et des défis. Comment est-ce que nous pouvons saisir et manipuler tous ces sens nouveaux ? Comment est-ce que nous pouvons mettre en relation les sens nouveaux avec les sens qui les ont engendrés ? Comment est-ce que nous acquérons une perspicacité efficace dans un réseau d’intégration conceptuel présentant de nombreux d’espaces ?

Dans ma prochaine conférence, je discuterai la nature des relations existant dans les espaces mentaux et entre les espaces mentaux. Je discuterai les principes qui gouvernent l'intégration conceptuelle et qui nous aident à saisir et à manipuler ces ensembles conceptuels complexes. Les êtres humains possèdent non seulement la faculté d'inventer le sens, mais aussi la faculté de saisir le sens. Ils ont un talent impressionnant en matière de perspicacité et de mémoire. Dans ma prochaine conférence, je discuterai ces aspects de l’intégration conceptuelle en présentant quelques hypothèses sur les figures de rhétorique et sur les formes du langage.

Merci de m'avoir écouté.